50-я Международная Математическая Oлимпиада
Германия, Бремен, 2009 год
(Треугольник называется невырожденным, если его вершины не лежат на одной прямой.)
Комментарий/решение:
Используем общеизвестный факт который гласит:
В невырожденном треугольнике сумма длин двух сторон больше чем длинна третьей стороны
$$$$
$P(a,b) \rightarrow (1,1)$
$f(1)=f(f(1))$
$P(a,b) \rightarrow (1,f(1))$
$f(1)=f(2f(1)-1)$
$ f(1)=1+k$
$P(a,b) \rightarrow (1,b)$
$f(b)=f(b+k)$
Для любого $b$
$P(a,b) \rightarrow (mk+1,1)$
$f(1+f(mk+1)-1)+f(1)>mk+1$
$f(1)=f(1+k)=f(1+2k)=\dots=f(mk+1)$
$f(f(1))=f(1)$
$2f(1)>mk+1$
Внезависимости от выбора числа $m$
$2k+2>mk+1$
$1>mk-2k \rightarrow k=0$
$$$$
$P(a,b) \rightarrow (a,1)$
$a=f(f(a))$
$$$$
$f(x)=f(y)$
$f(f(x))=f(f(y))$
$x=y$
$f(x)-$ инъективная
$$$$
$P(a,b) \rightarrow (2,b)$
$f(2)-1=k$
$f(b)+4>f(b+k)+2>f(b)$
$f(b+k)=f(b),f(b)-1,f(b)+1$
$f(b+k)=f(b)$ аналогичен случаю $f(1) \ne 1$
$f(b+k)=f(b)-1$
$f(b+k)=f(b+2k)-1= \dots f(b+kn)+n-1$
$f(b)-n=f(b+kn)$
$n=f(b)-1$
$1=f(b+f(b)k-f(b))$
$b=2$
$f(1)=f(2+(k)^2)$
Поскольку $f(x)-$ инъективная
$(k)^2=-1 \rightarrow \varnothing$
$$$$
$f(b+k)=f(b)+1$
$f(b+kn)=f(b)+n$
$f(1+kn)=n+1$
$f(k^2+1)=f(2)$
$k^2+1=2$
$k^2=1 \rightarrow k=1$
$$$$
Раз: $f(1+nk)=n+1$
То: $f(n+1)=n+1$
Значит: $f(x)=x$
$$$$
Ответ: $f(x)=x$
$f(1)+1>f(1+f(1)-1)$
$f(1+f(1)-1)+1>f(1)$
$$$$
Что дает нам равенство этих двух значений
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.