56-я Международная Математическая OлимпиадаТаиланд, Чиангмай, 2015 год

Найдите все тройки $\left( a,b,c \right)$ целых положительных чисел такие, что каждое из чисел $ab-c$, $bc-a$, $ca-b$ является степенью двойки. (Степенью двойки называется число вида ${{2}^{n}}$, где $n$ — целое неотрицательное число.)

Комментарий/решение

случай $1)$ если $a=2$ то $2b-c=2^m$ $2c-b=2^n$ $bc-2=2^x$ $bc-2=2^x$ то у нас либо $c$ либо $b$ чет если $x=1$,$b=c=2$ если $x>1$ то $c$ нечетный что означает $m=0$

$3b=2^n+2$ (поэтому $n\geq 2$), $3c=2^{n+1}+1$, и $(2^{n-1}+1)(2^{n+1}+1)=9(2^{p-1}+1)$. Следовательно $1\equiv 9 \mod 2^{n-1} \implies n \leq 4$. Следовательно $n$ это 2 или 4, и $(b,c)$ равно $(2,3)$ или$(6,11)$. Таким образом, решения для $(a,b,c)$ это $(2,2,2)$, $(2,2,3)$ или $(2,6,11)$

осталось разобрать случай где $3\leq a<b\leq c$ который легко разбирается и ответы $(2,2,2)$, $(2,2,3)$, $(2,6,11)$, $(3,5,7)$,