Городская олимпиада «Аль-Фараби» по математике, 9 класс

Известно, что ${{a}^{4}}{{b}^{3}}+{{b}^{4}}{{c}^{3}}+{{c}^{4}}{{a}^{3}}={{a}^{3}}{{b}^{4}}+{{b}^{3}}{{c}^{4}}+{{c}^{3}}{{a}^{4}}$. Найдите значение выражения $\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: 0.
Преобразовав данное условие в задаче, получим $$0={{a}^{4}}{{b}^{3}}+{{b}^{4}}{{c}^{3}}+{{c}^{4}}{{a}^{3}}-{{a}^{3}}{{b}^{4}}-{{b}^{3}}{{c}^{4}}-{{c}^{3}}{{a}^{4}}=$$ $$=(a-b)(b-c)(c-a)({{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}+abc(a+b+c))=$$ $$=\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)({{a}^{2}}{{(b+c)}^{2}}+{{b}^{2}}{{(c+a)}^{2}}+{{c}^{2}}{{(a+b)}^{2}}).$$ Заметим, что выражение $S=a^2{(b+c)}^{2}+{{b}^{2}}{{(c+a)}^{2}}+{{c}^{2}}{{(a+b)}^{2}}$ равно нулю, только при $a=b=c=0$. В этом случае искомый ответ, очевидно равен 0. В остальных случаях $S \ne 0$. Поэтому $\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)=0$, так как $$ \frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a) \cdot S=0. $$