Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2000 год

Многочлен $P(t)$ таков, что при всех действительных $x$ $P(\sin x)+P(\cos x)=1$. Какова может быть степень этого многочлена?

Комментарий/решение

Ответ: $P(t)=\dfrac{1}{2}$

1)Пусть $P(t)=C=const$. Подставим в исходное выражение

$C+C=1\Rightarrow C=\dfrac{1}{2}$

2)Пусть $P(t)$- многочлен $n-$ой степени. Он имеет вид

$$P(t)=a_0+a_1\cdot t^1 + a_2\cdot t^2+...+a_n\cdot t^n$$

3)Посмотрим, чему равно $P(\sin x)$ и $P(\cos x)$

$$P(\sin x)=a_0+a_1\cdot \sin x + a_2\cdot \sin^2 x+...+a_n\cdot \sin^n x$$

$$P(\cos x)=a_0+a_1\cdot \cos x + a_2\cdot \cos^2 x+...+a_n\cdot \cos^n x$$

4)Посмотрим, чему равно $P(\sin x)+P(\cos x)$

$$P(\sin x) + P(\cos x)=2\cdot a_0+a_1\cdot (\sin x+\cos x) +...+a_n\cdot (\sin^n x + \cos^n x)=1$$

5)Применим метод неопределенных коэффициентов. Он позволяет вычислить неизвестные коэффициенты $a_i$. Для этого составим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это можно сделать подстановкой различных "иксов" в уравнение (4). Чтоб система была совместна, размерность такой матрицы должна быть $n\times n$

6)Выпишем расширенную матрицу для решения СЛАУ методом Гаусса

$$\left(\begin{array}{crrr|c} 2&C_{12}&\ldots&C_{1n}&1\\ 2&\ldots&\ddots&\ldots&1\\ 2&C_{n2}&\ldots&C_{nn}&1 \end{array}\right)$$

Здесь $C_{ij}-$ результаты подстановок $n$ различных "иксов" в (4) перед соответствующими коэффициентами.

7)Покажем, что $a_n=0$. Сделаем прямой ход Гаусса - приведем матрицу к треугольному виду. После того, как привели к треугольному виду матрицу, получили что-то типа такого:

$$\left(\begin{array}{crrr|c} 2&C_{12}&\ldots&C_{1n}&1\\ 0&\ldots&\ddots&\ldots&0\\ 0&0&\ldots&C^*_{nn}&0 \end{array}\right)$$. В столбце свободных членов всегда будут нули, так как при самом первом ходе Гаусса все обнулилось (в силу того, что все свободные члены были равны единице).

8)Так как $a_n=0$ было получено для произвольного $n$, приходим к вывод, что решение $P(t)=\dfrac{1}{2}$ единственное

кажется ещё есть ответ $P(x)=x^2$