Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2002 год

Произведение положительных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равно 1. Докажите, что $${1+ab\over 1+a}+{1+bc\over 1+b}+{1+cd\over 1+c}+{1+da\over 1+d}\geq 4.$$ ( А. Храбров )

Комментарий/решение

$$ a=\frac{x}{y}, \quad b=\frac{z}{x} , \quad c=\frac{t}{z} , \quad d=\frac{y}{t} \Rightarrow$$

$$\Rightarrow S = \frac{y+z}{x+y} + \frac{t+x}{x+z}+\frac{y+z}{t+z}+\frac{t+x}{t+y} \geq 4$$

$$ \color{blue}{\forall m,n >0: \quad (m-n)^2\geq 0 \Leftrightarrow \frac{m}{n}+\frac{n}{m} \geq 2 \Leftrightarrow} \color{red}{ \frac{1}{m}+\frac{1}{n} \geq \frac{4}{m+n}}$$

$$ S= (y+z) \Bigg( \frac{1}{x+y}+\frac{1}{t+z}\Bigg)+(t+x) \Bigg( \frac{1}{t+y}+\frac{1}{x+z}\Bigg)\geq \frac{4(y+z)}{x+y+z+t}+\frac{4(t+x)}{x+y+z+t}=\frac{4(x+y+z+t)}{x+y+z+t}=4$$

Вы неправильно поняли условие там сумма дробей а не произведение