Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2002 год

Окружность, концентрическая со вписанной окружностью треугольника $ABC$, пересекает стороны треугольника в шести точках, образующих выпуклый шестиугольник $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ (точки $A_1$ и $A_2$ лежат на стороне $BC$, $B_1$ и $B_2$ — на стороне $AC$, $C_1$ и $C_2$ — на стороне $AB$). Докажите, что если прямая $A_1B_1$ параллельна биссектрисе угла $B$, то прямая $A_2C_2$ параллельна биссектрисе угла $C$. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

$I$ - инцентр.

Окружность симметрична относительно биссектрис углов треугольника $ABC$.

Тогда верно, что $BI$ - серединный перпендикуляр к $A_1C_2 \Rightarrow \angle C_2A_1B_1 = 90=\angle C_2A_2B_1$, а также $CI \bot A_2B_1$, поэтому $A_2C_2||CI.$