Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2003 год


Найдите все натуральные $x$, для которых $3x+1$ и $6x-2$ — точные квадраты, а число $6x^2-1$ — простое.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2017-07-01 13:06:41.0 #

$3x+1=a^2, 6x-2=b^2, 6x^2-1=p; a,b>1 \in Z, p=prime$. $$a^2b^2=18x^2+6x-6x-2$$. $$a^2b^2-1=18x^2-3=3p$$. $$(ab-1)(ab+1)=3p$$. $$ab+1=p, ab-1=3$$. $$ab=4, a=b=2, p=5, x=1$$