Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2006 год

Квадратные трехчлены $f$, $g$ и $h$ таковы, что при каждом вещественном $x$ числа $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ являются длинами сторон некоторого треугольника, а числа $f(x)-1$, $g(x)-1$ и $h(x)-1$ не являются длинами сторон треугольника. Докажите, что хотя бы из многочленов $f+g-h$, $f+h-g$, $g+h-f$ постоянен. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Так как $f(x) - 1, g(x) - 1, h(x) - 1$ - не являются сторонами треугольника при $\forall x \in \mathbb{R} \implies$

БОО $f(x) - 1 \geq g(x) - 1 + h(x) - 1 \iff 1 \geq g(x) + h(x) - f(x) = A(x) \forall x \in \mathbb{R} (1)$

С другой стороны, так как $f(x), g(x), h(x)$ - являются сторонами треугольника при $\forall x \in \mathbb{R} \implies g(x) + h(x) > f(x) \iff A(x) = g(x) + h(x) - f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}$

Следовательно, $1 \geq A(x) > 0$, с другой стороны если $A(x)$ - не константа, то он либо неограничен сверху, либо неограничен снизу, следовательно $A(x) \equiv c$

В данном решении есть неточность. В условии сказано, что из $f(x)-1, g(x)-1, h(x)-1$ нельзя составить треугольник. Но это не означает, что $f(x) = max\{f(x), g(x), h(x)\}, \forall x \in R$. Возможно такое, что для некоторых значений максимален один из трехчленов, а для других другой. Эту неточность можно исправить следующим образом. Пусть $a_{1}=f+g-h, a_{2}=f+h-g, a_{3}=g+h-f$. Тогда $a_{1}(x), a_{2}(x), a_{3}(x) \geq 0, \forall x \in R$. Также один из них не больше $1$. Отсюда $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ квадратные трехчлены, с положительными старшими коэффициентами. И тогда применяя рассуждение, что $a_{1}(x), a_{2}(x), a_{3}(x)$ принимают сколь угодно большие значения при некоторых $x$, получаем что один из $f+g-h, f+h-g, g+h-f$ постоянен.