Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2007 год

Несовпадающие квадратные трехчлены $f(x)$ и $g(x)$ отличаются друг от друга перестановкой коэффициентов. Может ли оказаться, что $f(x)\geq g(x)$ при всех вещественных $x$? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Ответ - не может

1)Возможны две ситуации

$(I)$ - В исходном многочлене $f(x)$ есть какие-то два повторяющихся коэффициента, например $f(x) = ax^2+ax+b$

$(II)$ - В исходном многочлене $f(x)$ нет повторяющихся коэффициентов, например $f(x) = ax^2+bx+c$

2)Рассмотрим $1.I.1$

$$f_1(x) = ax^2+bx+b$$

Возможные $g(x):$

$$g_1(x) = bx^2 + ax + b;\;\;g_2(x) = bx^2 + bx + a$$

Рассмотрим разность $f_1(x)$ и $g_1(x)$

$$f_1(x) - g_1(x) = (a-b)\cdot x^2 + (b-a)\cdot x = (a-b)\cdot x\cdot (x-1)$$

Понятно, что $f_1(x) - g_1(x)\le 0$ при $x\in[0;1],\;\;\forall a,b$

3)Рассмотрим разность $f_1(x)$ и $g_2(x)$

$$f_1(x) - g_2(x) = (a-b)\cdot x^2 + (b-a) = (a-b)\cdot (x^2-1)$$

Понятно, что $f_1(x) - g_2(x)\le 0$ при $x\in[-1;1],\;\;\forall a,b$

4)Рассмотрим $1.I.2$

$$f_2(x) = ax^2+ax+b$$

Возможные $g(x):$

$$g_3(x) = ax^2 + bx + a;\;\;g_4(x) = bx^2 + ax + a$$

5)Рассмотрим разность $f_2(x)$ и $g_3(x)$

$$f_2(x) - g_3(x) = (a-b)\cdot x + (b-a) = (a-b)\cdot (x-1)$$

Понятно, что $f_2(x) - g_3(x) \le 0$ при $x\le 1,\;\;\forall a,b$

6)Рассмотрим разность $f_2(x)$ и $g_4(x)$

$$f_2(x) - g_3(x) = (a-b)\cdot x^2 + (b-a) = (a-b)\cdot (x^2-1)$$

Понятно, что $f_2(x) - g_4(x)\le 0$ при $x\in[-1;1],\;\;\forall a,b$

7)Случаями (2) - (6) исчерпывается случай $1.I$. При всех вариантах, $f_i(x) - g_j(x)$ не может быть $\ge 0\;\;\forall x$. Обязательно есть интервал, где $f_i(x) - g_j(x)\le 0$

8)Рассмотрим случай $1.II$

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

Возможные $g(x):$

$$g_1(x) = ax^2 + cx + b;\;\;g_2(x) = bx^2 + cx + a;$$

$$g_3(x) = bx^2 + ax + c;\;\;g_4(x) = cx^2 + bx + a$$

$$g_5(x) = cx^2 + ax + b;$$

9)Заметим, что

$$f(1) = g_1(1) = g_2(1)=g_3(1)=g_4(1)=g_5(1) = a+b+c$$

Делаем вывод, что все графики пересекаются (или касаются) в точке $(1;a+b+c)$

Слева и справа от этой точки пересечения $f(x) - g_i(x)$ примет разный знак (*Краеугольное высказывание, надо подумать как его доказать*). А значит, $f(x) - g_i(x)\ge 0$ опять таки выполнится не для всех икс