Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2009 год

Фокусник просит зрителя задумать трехзначное число $\overline{abc}$, а затем назвать ему сумму чисел $\overline{acb}$, $\overline{bac}$, $\overline{bca}$, $\overline{cab}$ и $\overline{cba}$. Он утверждает, что узнав эту сумму, сможет назвать исходное число. Не обманывает ли он? ( Фольклор )

Комментарий/решение

Ответ: Не обманывает

$ \overline{abc} = 100a+10b+c $

$ \overline{acb}+\overline{bac}+\overline{bca}+\overline{cab}+\overline{cba} = x $

$ x = 100a+200b+200c+20a+10b+20c+2a+2b+c $

$ x = 122a+212b+221c $

$ x+ \overline{abc} = 122a+100a+212b+10b+221c+c=222a+222b+222c $

$ x + \overline{abc} = 222(a+b+c) $

Полученное уравнение и будет главным помощником фокусника при поиске исходного числа. Решать подбором.

Пример:

1)$ x = 3005 $

$ 3005 + \overline{abc} = 222(a+b+c) \Rightarrow 222(a+b+c) > 3005 , a+b+c > 14 $

$ a+b+c = 15 \Rightarrow 222 \cdot 15 = 3005 + \overline{abc} \Rightarrow \overline{abc} = 325 \Rightarrow 3+2+5 \ne 15 \Rightarrow \oslash $

$ a+b+c = 16 \Rightarrow 222 \cdot 16 = 3005 + \overline{abc} \Rightarrow \overline{abc} = 547 \Rightarrow 5+4+7=16 ,574+457+475+754+745 = 3005, \Rightarrow \overline{abc} = 547 $

Подбором только и умеете