Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2011 год

Все числа, большие 1, покрашены в два цвета (оба цветы использованы). Докажите, что существуют такие вещественные $a$ и $b$, что числа $a+{1\over b}$ и $b+{1\over a}$ разного цвета. ( А. Голованов )