Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2012 год

Решите уравнение ${1\over n^2}-{3\over 2n^3}={1\over m^2}$ в натуральных числах. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Заметим, что $\frac{1}{m^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{3}{2n^3}=\frac{1}{n^2} \cdot (1-\frac{3}{2n}) \Rightarrow (\frac{n}{m})^2 = 1- \frac{3}{2n} = \frac{2n-3}{2n}$. Заметим, что $(2n-3,2n)=1,3$. Тогда либо $2n-3=x^2, \, 2n=y^2, \, x,y \in \mathbb{N}$ либо $2n-3=3x^2, \, 2n=3y^2, \, x,y \in \mathbb{N}$.

Случай 1. $2n-3=x^2, \, 2n=y^2, \, x,y \in \mathbb{N}$. Тогда $(y-x)(y+x)=3 \Rightarrow x=2, \, y=2$. Тогда $(n, m) = (2, 4)$.

Случай 2. $2n-3=3x^2, \, 2n=3y^2, \, x,y \in \mathbb{N}$. Тогда $(y-x)(y+x)=1 \Rightarrow x=0, \, y=1$, что невозможно.

Значит единственный ответ $(n, m) = (2, 4)$.

с помощью этого уравнения можно получить это $(2n-3)*m^2=2n^3$

1)$(2n-3;n)=1$ $\Rightarrow$ $2n-3=1,2$ если $1$ то $(n;m)=(2;4)$

Если $2$ то заметим что $n\ne \in N$ что противоречит условию

$(2n-3;n)=3$ Тогда $n=3k$ и Тогда $(2k-1;k)=1, k\ne 2$ Если это $1$ то Заметим что тогда $2k-1=18,9,6,3,2,1$ и все эти варианта неправильны

если $k=2$ при этом $k$ ,$2k-1=k \Rightarrow k=2$ где $k=2$ то $n=6$ тогда решений нету т.к. иначе $9m^2=2*6^3$ тогда $m$ не квадрат