Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2013 год

Точки $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ — вершины правильного тетраэдра с ребром 1. Точки $B_1$ и $B_2$ лежат внутри фигуры, ограниченной плоскостью $A_1A_2A_3$ и сферами радиуса 1 с центрами $A_1$, $A_2$, $A_3$. Докажите, что $B_1B_2 < \max(B_1A_1, B_1A_2, B_1A_3, B_1A_4)$. ( А. Купавский )