Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2015 год

На плоскости отмечено $k(k+1)/2+1$ точек, некоторые из которых соединили непересекающимися отрезками (в том числе ни одна из точек не лежит на отрезке, соединяющим другие точки). Оказалось, что плоскость разбилась на параллелограммы и бесконечную область. Какое наибольшее число отрезков могло быть проведено? ( А. Купавский, А. Полянский )