Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2015 год

Первый ученик расставил числа $1$, $2$, $\ldots$, $2015$ по кругу и выписал в тетрадь неотрицательные разности всех пар соседних чисел. Второй ученик должен выбрать из этих разностей наименьшую. Ему интересно, какое самое большое число он может получить? ( Ильясов С. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: 1007.
Рассмотри число 1008 при расстановке по кругу. Модульные разности этого числа с двумя его соседями не превосходят 1007. Значит второй ученик ни при какой расстановке не мог получить число, большее 1007, т.к., как мы увидели, среди выписанных всегда есть число, не превосходящее 1007.
Покажем, что существует расстановка, при которой наименьшая из выписанных разностей будет равна 1007. Начинаем с числа 1008, далее ставим число на 1007 больше (т.е. 2015), потом на 1008 меньше (т.е. 1007), опять на 1007 больше (2014), на 1008 меньше (1006), и т.д. Когда дойдем до чисел 1009 и 1 – останавливаемся. Круг замкнется и 1 будет соседом для 1008. Как видно, все числа использованы, и все условия выполняются.