Областная олимпиада по математике, 2016 год, 10 класс

В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны. Прямая, проходящая через вершину $A$, пересекает описанную около $ABC$ окружность вторично в точке $Z$, а окружность с центром $A$ и радиусом $AB$ — в точках $X$ и $Y$. Прямые $BX$ и $CY$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямые $CX$, $BY$ и $PZ$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

Решение. (Рисунок) Т.к. $XY$ – диаметр, $BX⊥BY$ и $CX⊥CY$. Нужно доказать, что $PZ⊥XY$, т.к. тогда $BY,CX,PZ$ будут высотами $\Delta XYP$. Сделаем по-другому: проведем перпендикуляр $PZ'⊥XY$ и докажем, что $Z',A,B,C$ лежат на одной окружности. Это верно, т.к. окружность девяти точек $\Delta XYP$ в точности проходит через середину $A$ и основания высот $B,C,Z'$.