Областная олимпиада по математике, 2016 год, 10 класс

Для вещественных чисел $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\varepsilon$ справедливо неравенство $\sin \alpha + \sin \beta + \sin\gamma + \sin\delta + \sin\varepsilon \geqslant 3.$ Докажите, что $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma + \cos \delta + \cos \varepsilon \leqslant 4.$

Комментарий/решение

Ведем координаты векторов

\[\overrightarrow{а}(\sin\alpha;\cos\alpha),\overrightarrow{b}(\sin\beta;\cos\beta),\overrightarrow{c}(\sin\gamma;\cos\gamma),\overrightarrow{\kappa}(\sin\delta;\cos\delta),\overrightarrow{t}(\sin\epsilon;\cos\epsilon)\]

Причем \[\mid\overrightarrow{a}\mid=\mid\overrightarrow{b}\mid=\mid\overrightarrow{с\mid}=\mid\overrightarrow{k\mid}=\mid\overrightarrow{t\mid}=1\]

Для доказательства используем вспомогательное неравенство

\[\mid\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{с}+\overrightarrow{k}+\overrightarrow{t}\mid\leq\mid\overrightarrow{a}\mid+\overrightarrow\mid{b}\mid+\mid\overrightarrow{c\mid}+\mid\overrightarrow{k\mid}+\mid\overrightarrow{t}\mid\]

Воспользуемся вспомогательным неравенством для введенных векторов

\[\sqrt{(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma+\sin\delta+\sin\epsilon)^{2}+(\cos\alpha+\beta+\cos\gamma+\cos\delta+\cos\epsilon)^{2}}\leq5\]

Возведем обе части полученного и данного неравенств, в квадрат и сложим почленно, в результате получим требуемое неравенство

\[{(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma+\sin\delta+\sin\epsilon)^{2}+(\cos\alpha+\beta+\cos\gamma+\cos\delta+\cos\epsilon)^{2}}\leq25\]

\[9\leq(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma+\sin\delta+\sin\epsilon)^{2}\]

\[(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma+\cos\delta+\cos\epsilon)^{2}\leq16\]

\[\mid\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma+\cos\delta+\cos\epsilon\mid\leq4\]

Синустарды ретімен $a,b,c,d,e \ $деп, ал сәйкес косинустарды $x,y,z,t,u$ деп белгілейік.

Мысалы, $\ \ a=\sin\alpha,\ \ x=\cos\alpha \ \ $. Онда

$a^2+x^2=b^2+y^2=c^2+z^2=d^2+t^2=e^2+u^2=1$

$(a+b+c+d+e)^2\ge 9$. Дәлелденуі тиіс теңсіздік: $x+y+z+t+u\le 4$

Коши-Буняковский теңсіздігін екі рет қолданамыз:

$(x+y+z+t+u)^2\le 5(x^2+y^2+z^2+t^2+u^2)=25-5(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)\le$

$\le 25-(a+b+c+d+e)^2\le 25-9=16$