Олимпиада имени Леонарда Эйлера2015-2016 учебный год, II тур регионального этапа

В ряд выложено $100$ монет. Внешне все монеты одинаковы, но где-то среди них лежат подряд $50$ фальшивых (а остальные— настоящие). Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые могут весить по-разному, но каждая фальшивая легче настоящей. Можно ли с помощью одного взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы $34$ настоящие монеты? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Можно.
Решение. Пронумеруем монеты слева направо числами от $1$ до $100$. Сравним монеты $17$ и $84$. Хотя бы одна из них — настоящая. Поэтому, если весы в равновесии, то обе монеты — настоящие; в этом случае настоящими будут $34$ монеты с номерами $1$--$17$ и $84$--$100$, так как $50$ фальшивых монет в этих промежутках не умещаются. Пусть теперь перевесила монета $17$. Тогда она — настоящая, а монета $84$ — фальшивая. Так как номера любых двух фальшивых монет отличаются не более чем на $49$, в этом случае наименьший номер фальшивой монеты не меньше $84-49 = 35$, то есть монеты $1$--$34$ обязательно настоящие. Если же перевесила монета $84$, аналогичные рассуждения показывают, что настоящими являются монеты $67$--$100$.