Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2016 год

Для любых действительных чисел $a$ и $b$ докажите неравенство: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 \ge ab+a+b$.

Комментарий/решение

$a^2-2a+1+b^2-2b+1 \geq -a^2-b^2+2ab$

$(a-1)^2+(b-1)^2+(a-b)^2 \geq 0 $

$$ a^2-a(b+1)+b^2-b+1\geq 0$$ $$D=(b+1)^2-4(b^2-b+1)=-3b^2+6b-3\geq 0 \Rightarrow $$ $$(b-1)^2 \leq 0 \Rightarrow b=1 \Rightarrow a^2-2a+1=(a-1)^2\geq 0 \Rightarrow a\in R$$

Важно объяснить, что дискриминант либо отрицателен, либо равен $0$ (если $b=1$), а поскольку старший коэффициент положителен, то ветви параболы смотрят вверх, а наименьшая точка параболы - $(1;0)$

1) $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$,

$c=1$.

2) Коши Шварц:

$a^2+b^2+1=\sqrt{(a^2+b^2+1)(1+a^2+b^2)}\ge a+ab+b$

Аэм-жыем))

$a^2+b^2+1 = \dfrac{a^2+b^2}{2}+\dfrac{a^2+1^2}{2}+\dfrac{b^2+1^2}{2} \geq ab + a + b$

класека бро