33-я Балканская математическая олимпиада
Албания, Тирана, 2016 год


Найдите все такие инъективные функции $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$, что для любого действительного числа $x$ и натурального $n$ справедливо неравенство $$ \left|\sum_{i=1}^n i\left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)\right| < 2016.$$
Замечание Функция $f$ называется инъективной, если $f(x_1)=f(x_2)$ тогда, и только тогда, когда $x_1=x_2$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
2017-06-10 23:36:02.0 #

$$-2016 \leq \sum \limits_{i=1}^{n-1}{i \left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)} + n \left(f(x+n+1)-f(f(x+n))\right)<2016$$

$$|\sum \limits_{i=1}^{n-1}{i \left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)}|<2016 \Rightarrow -4032<n \left(f(x+n+1)-f(f(x+n))\right)<4032\Rightarrow$$

$$\Rightarrow |n \left(f(x+n+1)-f(f(x+n))\right)|<4032 \Rightarrow |\left(f(x+n+1)-f(f(x+n))\right)|<\frac{4032}{n}$$

$$ \mathbb{X}_n=\frac{4032}{n}\Rightarrow \inf \mathbb{X}_n =0\Rightarrow f(x+n+1)=f(f(x+n))\Rightarrow f(x+n)=x+n+1$$

$$ x+n=t \Rightarrow f(t)=t+1$$

$$ f(x)=x+1, x\in \mathbb{R}$$