Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 9 класс

При каких натуральных $n$ число $2^n + 65$ является квадратом натурального числа?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $n=4$, $n=10$.
Рассмотрим остатки при делении на 5. Квадрат целого числа при делении на 5 может давать остатки 0, 1 и 4. Число 65 делится на 5 без остатка. Степени 2 могут давать остатки 1, 2, 4 и 3. Следовательно, Остатки степени 2 при делении на 5 должны быть 1 или 4, а это возможно только при четных степенях. То есть $n=2k$.
Пусть $2^{2k}+65=a^2$, где $a$ и $k$ — натуральные числа. Тогда $(a-2^k)(a+2^k)=65$. Так как $65=13 \cdot 5$, то возможны только два случая:
$a-2^k=5$, $a+2^k=13$ и $a-2^k=1$, $a+2^k=65$. Решениями этих систем будут пары $a=9$, $k=2$ и $ a=33$, $k=5$. Тогда натуральными решениями исходного уравнения будут $n=4$ и $n=10$.

$2^n+65=\left(2^{\tfrac{n}{2}}\right)^2+2\cdot2^5+1$

$\cfrac{n}{2}=5$

$n=10$

$2^n+65=\left(2^{\tfrac{n}{2}}\right)^2+2\cdot2^2\cdot5+5^2$

$\cfrac{n}{2}=2$

$n=4$

Идея того, что Вы ищете квадраты вида $x^2+2xy+y^2$ не очень хорошая. Можно ошибиться с подбором таких $x$ и $y$.