1-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 2 тур, 2016 г.

Можно ли в клетках квадрата 4х4 расставить числа от 1 до 16 по одному разу так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке произведение чисел в клетках делилось на 16?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Допустим, что нам удалось расставить числа так, чтобы выполнялось условие задачи. Если взять произведение произведении по строкам, то оно будет равно $1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 16$. И это число должно делиться на два 16 раз, так как по условию задачи каждое произведение по строкам делится на два четыре раза. и таких строк у нас четыре. Среди чисел $1,2,\ldots ,16$ числа $2,6,10,14$ делятся на 2 только один раз, числа $4,12$ делятся на 2 два раза, число $8$ три раза и число $16$ четыре раза. Поэтому произведение $1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 16$ делится на 2 только $1+1+1+1+2+2+3+4=15$ раз. Противоречие. Следовательно, расставить числа от 1 до 16 в клетках таблицы $4\times 4$ так, чтобы выполнялись условия задачи невозможно.