1-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур, 2016 г.

Пятизначное число $A$ записывается только двойками и тройками, а шестизначное число $B$ – только четверками и тройками. Али перемножил числа $A$ и $B$, получив в результате число, записываемое только двойками. Не ошибся ли он?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: Ошибся.
Понятно, что минимальное значение $A$ равно $22222$, а максимальное $33333$. Также, минимальное значение $B$ равно $333333$, а максимальное равно $444444$. Тогда произведение $AB$ находится в интервале от $22222\cdot 333333=7407325926$ до $33333\cdot 444444=14814651852$. Осталось заметить, что \[\underbrace{22\ldots 2}_{10-раз} < 7407325926 < 14814651852 < \underbrace{22\ldots 2}_{11-раз}.\] Поэтому его первая цифра точно не 2.

Альтернативное решение:

Начнем с конца цифр A*B= какое то число и в конце будет 2, значит последними цифрами в числах A и B будут 3 и 4 соответственно. Получается идут несколько цифр и в конце 2, но в разряд десятков добавляется 1, значит в разряде десятков после умножения A на B должно получиться число 1,11 или 21. Сразу заметим что ни одно из этих произведений не может получиться при умножении чисел 2 или 3 на 3 или 4. Выходит противоречие, цифра в разряде десятков не может быть равна 2.