Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 10 класс

При каких натуральных $n$ число $2^n + 65$ является квадратом натурального числа?

Комментарий/решение

$2^n+65=\left(2^{\tfrac{n}{2}}\right)^2+2\cdot2^5+1$

$\cfrac{n}{2}=5$

$n=10$

$2^n+65=\left(2^{\tfrac{n}{2}}\right)^2+2\cdot2^2\cdot5+5^2$

$\cfrac{n}{2}=2$

$n=4$