Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 9 класс

Вещественные числа $x,$ $y,$ $z$ таковы, что $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$. Докажите, что $\frac{xy}{{{z}^{2}}}+\frac{yz}{{{x}^{2}}}+\frac{zx}{{{y}^{2}}}=3.$

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    

Тоже самое $\dfrac{yz+xy+zx}{xyz}=0$ , тогда доказуемое равно $\dfrac{(xy)^3+(yz)^3+(xz)^3}{(xyz)^2}=3$ , замена $yz=a, \ xy=b, \ zx=c$ получим $a+b+c=0$ второе запишется как $S=\dfrac{(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(a+c)}{abc} = \dfrac{-3(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}$ учетом того что $a+b+c=0$

Воспользуемся тождеством $(ab+ac+bc)(a+b+c)-abc=(a+b)(b+c)(a+c)$ или в данном случае $-abc=(a+b)(b+c)(a+c)$ , подставляя $S=\dfrac{3abc}{abc}=3$ чтд .

$\text{ Алмастыру: } \frac{1}{x}=-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}; \Rightarrow \frac{1}{x^2}=\frac{1}{y^2}+\frac{2}{yz}+\frac{1}{z^2}, x=-\frac{yz}{z+y}\\ x\cdot \left(\frac{y}{z^2}+\frac{z}{y^2} \right)+\frac{1}{x^2} \cdot yz=3 \Rightarrow -\frac{yz}{y+z} \cdot \left(\frac{y}{z^2}+\frac{z}{y^2} \right)+\left( \frac{1}{y^2}+\frac{2}{yz}+\frac{1}{z^2}\right)\cdot yz=3\Rightarrow -\frac{yz}{y+z} \cdot \left(\frac{y^3+z^3}{z^2y^2} \right)+\left( \frac{z^2+2yz+y^2}{z^2y^2} \right)\cdot yz=3\Rightarrow \\ \Rightarrow -\frac{y^2-yz+z^2}{yz}+\frac{z^2+2yz+y^2}{yz}=3 \Rightarrow 0=0 \text{ теңдік дәлелденді.}$

$$ \frac{1}{x}=a, \frac{1}{y}=b, \frac{1}{z}= c \Rightarrow a+b+c=0 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow a+b=-c \Rightarrow a^3+b^3+3ab(\underbrace {a+b}_{-c})=-c^3\Rightarrow$$

$$\Rightarrow a^3+b^3+c^3= 3abc \Rightarrow \frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \frac{yz}{x^2}+\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}=3$$