Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 9 класс

На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ выбрана точка $E$ так, что $AB:AE=\sqrt{2}$. Описанная окружность треугольника $BED$ вторично пересекает прямую, проходящую через точку $B$ перпендикулярно $BD$, в точке $F$. Докажите, что треугольник $ABF$ равнобедренный.

Комментарий/решение

Пусть $AE=1.$ Тогда $AD=AB=AE\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}.$ Из вписанности четырехугольника $BEDF$ имеем: $\angle DFE=\angle DBA=45{}^\circ $, а также $\angle DEF=\angle DBF=90{}^\circ .$ Значит, треугольник $DEF$ равнобедренный, так как он прямоугольный и один из острых углов равен $45{}^\circ $, откуда $DE=EF.$ По теореме Пифагора имеем: $BD=AB\sqrt{2}=2,$ $ED=\sqrt{1+2}=\sqrt{3},$ $DF=DE\sqrt{2}=\sqrt{6},$ $BF=\sqrt{D{{F}^{2}}-B{{D}^{2}}}=\sqrt{6-4}=\sqrt{2}.$ Получается, что оба отрезка $AB$ и $BF$ равны $\sqrt{2}$, то есть $ABF$ равнобедренный.

Так как четурехугольник $BEDF$ описанный то $<AED=<BFD$ поэтому треугольники $AED$ и $BFD$ подобны по углам. Тогда

$$\sqrt2=\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{BF}=\frac{\sqrt2 AD}{BF}$$

$$\Rightarrow BF=AD=AB$$