Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс

Решите в натуральных числах уравнение $\left( m+1 \right)!+\left( n+1 \right)!={{m}^{2}}{{n}^{2}}.$

Комментарий/решение

Пусть $n\ge m$, тогда

$$m^2n^2=(m+1)!+(n+1)!>(n+1)!>n^4\ge m^2n^2$$

Ибо $ (n+1)!>n^4$ для всех $n>4$ по индукции верно. Дальше остается разобрать случаи $n=1,2,3,4$ .

Левая часть четная, значит правая тоже, но правая есть квадрат, значит делится на 4, тогда левая тоже делится на 4, значит $m,\,n \geqslant 3$, откуда ответом будет пара 3 и 4.

$m! > m^4$ (m ≥ 7) яғни $(m - 1)! > m^3$.

Енді $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (m - 2) \cdot (m - 1) > m^3$ екендігіне көз жеткізейік, ол үшін $(m - 4) \cdot (m - 3) \cdot (m - 2) \cdot (m - 1) > m^3$ болатындығын көрсетсек жеткілікті:

\[m^3 (m - 10) + 35m^2 - 50m + 24 > m^3\]

\[m^3 (m - 10) > m^3 \ (m > 11).\]

Ал, $35m^2 - 50m + 24 > 0$ кез келген m үшін оындалады. Сонда:

\[m^3(m - 10) + 35m^2 - 50m + 24 > m^3 \ (m \geq 7).\]

Демек, $m! > m^4$ ендеше, $(m + 1)! > m^4$ және $(n + 1)! > n^4 \ (m \geq 5, n \geq 5)$.

Осыдан, $(m + 1)! + (n + 1)! > m^4 + n^4 \geq 2m^2n^2 > m^2n^2$.

Егерде есептің берілгеніне жүгінсек, онда келесі теңсіздікті аламыз:

\[(m + 1)! + (n + 1)! \geq m^2n^2.\]

Ендігі жағдайда $m$ мен $n$–ң қандай мәндерінде теңдіктің орындалатындығын анықтайық:

\[(m + 1)! + (n + 1)! = m^2n^2 \ (1 \leq m < 5, \ 1 \leq n < 5)\]

$m < n$ және $n = m + 1$ болсын делік.

m = 1, n = 1+1, 2! + 3! ≠ 12 ∙22

m = 2, n = 2+1 3! + 4! ≠ 22 ∙32

m = 3, n = 3+1 4! + 5! = 32∙42 демек, m = 3, n = 4

m ≥ n, m = n + 1 жағдайында m = 4, n = 3. m = n болғанда 2(m + 1)! = m4 ⇒ ((m + 1)! )/m^4 = 1/2 бұлай болуы мүмкін емес, өйткені (m + 1)! > m4 (m ≥ 5)

Жауабы: ( 3;4), (4;3)