Областная олимпиада по математике, 2017 год, 9 класс


Найдите все пары целых чисел $\left( x,y \right)$, удовлетворяющих уравнению ${{2}^{2x+1}}+9\cdot {{2}^{x}}+5={{y}^{2}}.$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   -1
2017-02-05 19:50:47.0 #

b_Ответ:_b $(0;4),(0;-4).$

b_Решение:_b Пусть $x>2$, тогда

$$2^{2x+1}+(2^3+1)2^x+(2^2+1)=y^2$$

$$4(2^{2x-1}+2^{x+1}+2^{x-2}+1=(y-1)(y+1)$$

$$2^{2x-1}+2^{x+1}+2^{x-2}+1=k(k+1)$$

$2^{2x-1}+2^{x+1}+2^{x-2}+1$-нечетное число, а k(k+1)-четное, противоречие.

пусть $x\leq-2$, тогда

$$\dfrac{1}{2^{|2x+1|}}+\dfrac{9}{2^{|x|}}+5=y^2$$

$$\dfrac{(1+9*2^{x+1}+5*2^{|2x+1|})}{2^{|2x+1|}}$$

$\dfrac{(1+9*2*2^x+5*2^{|2x+1|})}{2^{|2x+1|}}$-не целое число

Проверяя остальные значения x=-1,0,1,2 убедимся что, подходит только $x=0$, и $у=-4;4$.

  0
2018-10-12 20:46:50.0 #

Ответ: (0;4), (0;-4).

Решение: Пусть x > 2, тогда

2^(2x+1)+(2^3+1)2^x+(2^2+1) = y^2

4(2^(2x-1)+2^(2x+1)+2^(2x-2)+1)=(y-1)(y+1)

(2^(2x-1)+2^(2x+1)+2^(2x-2)+1)=k(k+1)

2^(2x-1)+2^(2x+1)+2^(2x-2)+1 является нечётным числом, а k(k+1) является четным, противоречие.

Пусть x <-1, тогда

1/2^|2x+1|+9/2^|x|-5=y^2

(2^|x|+9+5*2^|2x+1|)/2|2x+1|=y^2.

(2^|x|+9+5*2^|2x+1|)/2|2x+1| является не целым числом.

Проверяя значения x=-1,0,1,2 убедился что, подходит только x=0, и y=-4;4.