Областная олимпиада по математике, 2017 год, 10 класс

Дан треугольник $ABC$. Пусть $O$ — центр его описанной окружности, ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Среди окружностей, которые содержат вершину $A$ и точку $O$, но не проходят через точки ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$ выберем окружность. Пусть эта окружность пересекает прямые $O{{B}_{1}}$ и $O{{C}_{1}}$ соответственно в точках $K$ и $L$. Докажите, что отношение $K{{B}_{1}}$ к $L{{C}_{1}}$ не зависит от выбора окружности.

Комментарий/решение

Лемма 1 (Лемма о велосипедистах): Пусть даны окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$, также на $\omega_{1}$ дана точка $C$.

Пусть $BC \cap \omega_{2} = C_{1}$, тогда $H$ - если поворотная гомотетия, с центром в точке $A$, переводящая $\omega_{1}$ в $\omega_{2}$, тогда также $H(C) = C_{1}$.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вернемся к задаче, пусть $\omega$ - описанная окружность $AOB_{1}C_{1}$, $\omega_{0}$ - окружность проходящая через $AO$, но не проходящая через $B_{1}$ и $C_{1}$, пусть ее центр это точка $O_{1}$

Пусть $H$ - поворотная гомотетия с центром $A$ и переводит $\omega$ в $\omega_{0}$, тогда по нашей лемме $H(C_{1}) = L$ и $H(B_{1}) = K \implies$

$ \angle(AC_{1}, AL) = \angle(AB_{1}, AK) = \angle(AO, AO_{1}) = \varphi$.

Теперь рассмотрев прямоугольные треугольники $AC_{1}O$ и $AB_{1}L$, с углом $\varphi$ при вершине $A$, получаем что $C_{1}L = AC_{1}tg\varphi$, $B_{1}K = AB_{1}tg\varphi \implies$ $$\frac{KB_{1}}{LC_{1}} = \frac{AB_{1}*tg\varphi}{AC_{1}*tg\varphi} = \frac{AB_{1}}{AC_{1}} = const$$

Заметим что $\angle OLA=\angle OKA$ и $\angle LC_1A=\angle KB_1A=90$ отсюда $\triangle LC_1A \sim \triangle KB_1A$ следовательно $\frac{KB_1}{LC_1}=\frac{AB_1}{AC_1}=\frac{AC}{AB}$ -что фиксировано