Республиканская олимпиада по математике, 2017 год, 9 класс


Неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$ с центром $O$. Продолжение биссектрисы $CN$ пересекает $\omega$ в точке $M$. Пусть $MK$ — высота треугольника $BCM$, $P$ — середина отрезка $CM$, а $Q$ — точка пересечения прямых $OP$ и $AB$. Пусть прямая $MQ$ во второй раз пересекает $\omega$ в точке $R$, а $T$ — точка пересечения прямых $BR$ и $MK$. Докажите, что $NT \parallel PK$. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Рассмотрим случай, когда $AC > BC$. Остальные случаи разбираются аналогично. Прямоугольные треугольники $OPM$ и $BKM$ подобны, так как $\angle POM=\angle CAM=\angle KBM$. В треугольнике $OMQ$ точка $N$ является его точкой пересечения высот. Поэтому $\angle PON=\angle NMQ=\angle CBR=\angle TBK$, то есть $ON$ и $BT$ являются соответствующими в этих подобных треугольниках $OPM$ и $BKM$. Следовательно, $MN/NP=MT/TK$ или $NT\parallel PK$.