Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 10 класс

Может ли сумма 2003 последовательных натуральных чисел быть 2003-й степенью натурального числа?

Комментарий/решение

b_Ответ._b Да, может.

Пусть даны числа $n+1,n+2,\ldots,n+2003$. Сумму этих чисел легко можем посчитать используя формулы суммы арифметической прогрессии:

$$S = \frac{{\left( {n + 1} \right) + \left( {n + 2003} \right)}}{2} \cdot 2003 = 2003 \cdot (n + 1002).$$

Тогда, достаточно взять число $n=2003^{2002}-1002$. В этом случае сумма будет равна $S=2003^{2003}$, то есть 2003-й степенью натурального числа.