Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2017 год

В таблице $3\times 3$ расставлены положительные числа. Произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате $2\times 2$ равно 2. Какое число стоит в центре?

Комментарий/решение

$$\mathbb{\Omega}_{[3\times3]}=\left\| \begin{gathered} a b c\\ def \\ ghk \\ \end{gathered} \right\|$$

$$\left\{ \begin{gathered} a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e \cdot f \cdot g \cdot h \cdot k=1 \\ a\cdot b\cdot d\cdot e =2\\ b\cdot c\cdot e\cdot f=2 \\ d\cdot e\cdot g\cdot h =2 \\ e\cdot f \cdot h \cdot k =2 \\ \end{gathered} \right.$$

$$16=a\cdot b^2 \cdot d^2 \cdot e^4 \cdot f^2 \cdot h^2 \cdot k\cdot c \cdot g=$$ $$= (\underbrace{a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e \cdot f \cdot g \cdot h \cdot k}_1)\cdot b\cdot d\cdot e^3\cdot f\cdot h=$$

$$=b\cdot d\cdot e^3\cdot f\cdot h=(\underbrace{d\cdot e \cdot f}_1)\cdot (\underbrace{b\cdot e \cdot h}_1)\cdot e\Rightarrow e =16$$

$\mathbb{O}$ $\mathbb{T}$ $\mathbb{B}$ $\mathbb{E}$ $\mathbb{T}:$ $16$