Қалалық Жәутіков олимпиадасы, 9 сынып, 2017 жыл

Центрі $O$ болатын шеңберге $A$ нүктесінен $AB$ жанамасы жүргізілген. Шеңбер бойынан $B$-дан өзге $AO\parallel BC$ болатындай $C$ нүктесі алынған. $ABCD$ параллелограмм болсын, және $M$ нүктесі оның диагоналдарының қиылысу нүктесі болсын. Онда $AB=2MO$ екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Продлим за точку $M$ отрезок $OM$ так что $OM = O'M$ то есть $OO'=2OM$ , тогда четырехугольник $AOCO'$ - параллелограмм , так как $CM=AM$ . Откуда $AO'=OC=R=OB$ значит четырехугольник $OBO'A$ - равнобедренная трапеция , откуда $OO' = AB = 2OM$ (диагонали трапеций) и $\angle OO'A=90^{\circ}$.