XVI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2017 год

Докажите, что среди любых 42 чисел из промежутка $[1,{{10}^{6}}]$ можно выбрать четыре числа так, что для любой перестановки $\left( a,b,c,d \right)$ этих чисел выполняется неравенство $25\left( ab+cd \right)\left( ad+bc \right)\ge 16{{\left( ac+bd \right)}^{2}}.$ ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

$a,b,c,d\ge 0\Rightarrow ac+bd\ge 2\sqrt{abcd}, ad+bc\ge 2\sqrt{abcd}, ab+cd\ge 2\sqrt{abcd}$

болғандықтан, $a,b,c,d\ge 1$ сандарының кез келген орын алмастырулары үшін $25(ac+bd)(ad+cb)\ge 16(ab+cd)^2$ теңсіздігін дәлелдеу үшін

$25abcd\ge 4(ab+cd)^2, 4(ac+bd)^2, 4(ad+bc)^2$ теңсіздіктерін дәлелдеу жеткілікті.

Берілген аралықтағы кез келген 42 санның ішінен

$25abcd\ge 4(ab+cd)^2$ теңсіздігін қанағаттандыратын $a\ge b\ge c\ge d$ сандарын таңдап алу жеткілікті, cебебі

$a\ge b\ge c\ge d \Rightarrow (a-c)(b-d)\ge 0 \Rightarrow ab+cd\ge ad+bc $

$a\ge b\ge c\ge d \Rightarrow (a-d)(b-c)\ge 0 \Rightarrow ab+cd\ge ac+bd $

Енді $1\le x_1\le x_2\le x_3\le ... \le x_{42}\le 10^6$ сандарының ішінен $4x_m x_{m+1}\ge x_{m+2} x_{m+3}$ теңсіздігі орындалатын $x_m, x_{m+1}, x_{m+2} , x_{m+3}$ сандары табылатынын дәлелдейік. Ондай сандар табылмайды деп кері жориық, онда мына теңсіздіктер орындалуы тиіс:

$4x_1 x_2< x_3 x_4$

$4x_3 x_4< x_5 x_6$

$4x_5 x_6< x_7 x_8$

.................................

$4x_{39} x_{40}< x_{41} x_{42}$

Бұл теңсіздіктерді көбейтсек, $4^{20}x_1 x_2<x_{41} x_{42} $ теңсіздігі шығады.

$ \Rightarrow 4^{20}\le 4^{20}x_1 x_2<x_{41} x_{42}\le 10^6\cdot 10^6$

$\Rightarrow \ \ 4^{20}< 10^6\cdot 10^6 \iff 2^{40}<2^{12}\cdot 5^{12} \iff 2^{28}<5^{12}\iff 2^7<5^3 \iff 128<125$

Қарама-қайшылыққа келдік. Демек, берілген аралықтағы 42 санның ішінен $4cd\ge ab$ шартын қанағаттандыратын $a\ge b\ge c \ge d$ сандарын таңдап алуға болады.

$2\sqrt{ab}\ge \sqrt{cd}, 2\sqrt{cd}\ge \sqrt{ab} $

$\Rightarrow (2\sqrt{ab} -\sqrt{cd})(2\sqrt{cd} - \sqrt{ab})\ge 0$

$\Rightarrow 5\sqrt{abcd}\ge 2(ab+cd) \Rightarrow 25abcd\ge 4(ab+cd)^2$

Дәлелдеу аяқталды.