Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2017 год

Последовательность из пяти целых чисел назовем выстраиваемой, если эти числа можно взять в каком-то порядке и обозначить $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ так, чтобы выполнялось равенство $a-b+c-d+e=29$. Найдите все последовательности из $2017$ целых чисел $n_1,n_2,\ldots,n_{2017}$, удовлетворяющие условию: если такую последовательность выписать по кругу по часовой стрелке, то любые пять стоящих подряд чисел будут образовывать выстраиваемую последовательность. ( Warut Suksompong )

Комментарий/решение

Ответ: $(n_1,\ldots,n_{2017})=(29,\ldots,29)$

Заменим $n_i=x_i+29, i=1,\ldots, 2017.\quad (x_k=x_{k+2017},\forall k\in\mathbb N)$

Тогда $a-b+c-d+e=0,$ где $(a,b,c,d,e)=(x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3},x_{i+4})$

Откуда $$0\equiv a-b+c-d+e\equiv a+b+c+d+e\equiv$$ $$\equiv x_i+x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}+x_{i+4}\pmod 2$$

Пусть $A_i=x_i+x_{i-1}+x_{i-2}+x_{i-3}+x_{i-4} \ \vdots \ 2,$ значит $$x_{i+5}-x_i\equiv A_{i+5}-A_{i+4}\equiv 0\pmod 2$$

$$\implies x_i\equiv x_{i+5}\pmod 2$$

Так как $(2017,5)=1,$ то $x_i\equiv x_j\pmod 2,\forall i,j=1,\ldots,2017$

$\implies 2\mid x_i,\forall i=1,\ldots,2017,$ тогда можно заменить $x_i=2\cdot y_i.$

Тогда аналогично $2\mid y_1\implies 2^n\mid x_i,\forall n\in\mathbb N\implies x_i=0, i=1,\ldots,2017.\quad\square$