Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2017 год

Назовем рациональное число $r$-степенным, если $r$ может быть представлено в виде $\frac{p^k}{q}$ для некоторых взаимно простых натуральных чисел $p,q$ и некоторого целого $k > 1$. Пусть $a,b,c$ — положительные рациональные числа такие, что $abc=1$. Известно, что существуют натуральные числа $x,y,z$ такие, что число $a^x+b^y+c^z$ целое. Докажите, что числа $a,b,c$ степенные. ( Jeck Lim )

Комментарий/решение

Лемма 1: Дано $q\in\mathbb {Q^+}$ и $r\in\mathbb {N_{>1}}.$ Если для любого простого $p$ такого, что $v_p(q)>0$ верно, что $r\mid v_p(q),$ то $q-$ степенное.

Доказательство: Пусть $q=\dfrac m n,$ где $m,n\in\mathbb N$ и $\gcd (m,n)=1.$

Тогда $v_p(q)>0\iff p\mid m,$ значит $\forall p\mid m,$ где $p\in\mathbb P$ верно, что $r\mid v_p(m),$ откуда $m=M^r,$ где $M\in\mathbb N.\quad\square$

$\\$

Лемма 2: Если $v_p(a)>0, p\in\mathbb P,$ то $a_1\mid v_p(a),$ для некоторой константы $a_1>1.$

Доказательство: Рассмотрим простое число $p$ такое, что $v_p(a)>0$. Тогда $$v_p(a)+v_p(b)+v_p(c)=v_p(abc)=0$$

Без ог. общности примем, что $v_p(c)<0.$ Если $v_p(b)\ge 0,$ то $$0\le v_p(a^x+b^y+c^z)=z\cdot v_p(c)<0$$

поэтому $v_p(b)<0.$ Тогда если $v_p(b^y)\ne v_p(c^z),$ то $$0\le v_p(a^x+b^y+c^z)=\min\{ v_p(b^y), v_p(c^z)\}<0$$

откуда $v_p(b^y)=v_p(c^z)\implies y\cdot v_p(b)=z\cdot v_p(c)$ $$\implies v_p(b)=-s\cdot z_1,\quad v_p(c)=-s\cdot y_1,$$

где $y_1=\dfrac{y}{\gcd (y,z)},$ $z_1=\dfrac{z}{\gcd (y,z)}$ и $s\in\mathbb{N}.$

Следовательно $$v_p(a)=-(v_p(b)+v_p(c))=s(y_1+z_1)$$

Значит если $v_p(a)>0,$ то $1<y_1+z_1=a_1 \mid v_p(a).\quad\square$

Из этих двух Лемм следует требуемое.