58-я Международная Математическая OлимпиадаБразилия, Рио-де-Жанейро, 2017 год

Охотник и невидимый кролик играют в следующую игру на плоскости. Стартовая точка $A_0$ кролика и стартовая точка $B_0$ охотника совпадают. Пусть после $n-1$ раунда игры кролик находится в точке $A_{n-1}$, а охотник — в точке $B_{n-1}$. Тогда в $n$-ом раунде игры последовательно выполняются следующие три действия:
(i) Кролик, оставаясь невидимым, перемещается в точку $A_n$ такую, что расстояние между $A_{n-1}$ и $A_n$ в точности равно 1.
(ii) Следящее устройство сообщает охотнику некоторую точку $P_n$. При этом следящее устройство гарантирует только то, что расстояние между точками $P_n$ и $A_n$ не больше 1.
(iii) Охотник, оставаясь видимым, перемещается в точку $B_n$ такую, что расстояние между $B_{n-1}$ и $B_n$ в точности равно 1.
Всегда ли возможно охотнику, при любых перемещениях кролика и любых сообщаемых следящим устройством точках, выбирать свои перемещения так, чтобы после $10^9$ раундов он мог гарантировать, что расстояние между ним и кроликом не больше 100?