Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2017 год


На продолжении стороны $AD$ прямоугольника $ABCD$ за точку $D$ выбрана точка $E$. Луч $EC$ вторично пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $ABE$, в точке $F$. Лучи $DC$ и $AF$ пересекаются в точке $P$. На прямую $\ell$, проходящую через точку $E$ параллельно прямой $AF$, опущен перпендикуляр $CH$. Докажите, что прямая $PH$ касается окружности $\omega$. ( А. Кузнецов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
2021-09-04 09:19:19.0 #

Пусть $G \in BC \cap \omega$ и $ M \in CD \cap BE$ тогда так как $\angle APD = \angle PAB = \angle FEB$ и так как $l || AF$ тогда $\angle APD = \angle GEN$ откуда $FPEM$ вписанный , тогда $PC \cdot CM = CE \cdot CF$ но $BC \cdot CG = CE \cdot CF$ то есть $ PC \cdot CM = BC \cdot CG$ то есть $BPGM$ вписанный , тогда $\angle PGB = \angle PMB = \angle GEB$ то есть $PG$ касательная, так как $CH \perp \ l$ тогда $DCGHE$ вписанный , откуда тогда $\angle HGN = \angle EN = \angle BEG = \angle BMP = \angle BGP$ то есть $P,G,H$ лежат на одной прямой.