Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2017 жыл

Іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышының $AC$ және $BD$ диагональдары тік бұрыш жасап, $P$ нүктесінде қылысады. $AP=QC$ болатындай, $PC$ кесіндісінде $Q$ нүктесі алынды. $BQD$ үшбұрышының периметрі $2AC$-дан кем емес екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

$BP=a,PD=b,AP=QC=c,PQ=d$

$ab=c(d+c)=cd+c^2 \Rightarrow c^2+dc-ab=0 \Rightarrow c=\frac{-d+\sqrt{d^2+4ab}}{2}$

Надо доказать то, что $a+b+\sqrt{a^2+d^2} + \sqrt{b^2+d^2}\ge2c+d \Rightarrow$

$a+b+\sqrt{a^2+d^2} + \sqrt{b^2+d^2}\ge\sqrt{d^2+4ab}$

Возведем обе части в квадрат: $(LHS)^2\ge a^2+b^2+a^2+d^2+b^2+d^2 \ge d^2+4ab$

Используя $a^2+b^2\ge2ab:$

$a^2+b^2+a^2+d^2+b^2+d^2 \ge 4ab+2d^2 \ge d^2 + 4ab \Rightarrow d^2\ge0$