3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, третья лига, 11-12 классы

Cуществуют ли шесть точек плоскости $X_1$, $X_2$, $Y_1$, $Y_2$, $Z_1$, $Z_2$ таких, что треугольники $X_iY_jZ_k$ подобны для всех наборов $i,j, k$, $1 \leqslant i, j, k \leqslant 2$?

Комментарий/решение

Ответ: нет, не существует

Построим произвольный треугольник $X_1Y_1Z_1$. Теперь нужно построить треугольник $X_1Y_1Z_2$. По условию, эти треугольники подобны: $\triangle X_1Y_1Z_1\sim \triangle X_1Y_1Z_2$. То есть $\dfrac{X_1Y_1}{X_1Y_1}=\dfrac{X_1Z_1}{X_1Z_2}=\dfrac{Y_1Z_1}{Y_1Z_2}=k=1\Rightarrow \triangle X_1Y_1Z_1=\triangle X_1Y_1Z_2$. Чтобы точки $Z_1$ и $Z_2$ не совпали, разнесем их симметрично относительно прямой $X_1Y_1$.Теперь нужно подумать, как разместить точку $Y_2$. Опять рассмотрим $\triangle X_1Y_1Z_1$. Рассмотрим две полуплоскости, получаемые делением плоскости прямой $X_1Z_1$. Если $Y_2$ лежит в нижней полуплоскости, то эта точка совпадёт с $Y_1$. Значит, расположим в верхней полуплоскости, симметрично прямой $X_1Z_1$. Пришли к противоречию. Ведь $\triangle X_1Y_2Z_2$ не будет подобен остальным треугольникам. Две стороны $\triangle X_1Y_2Z_2$ равны, а третья не равна