Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 11 класс

Доказать, что функция, удовлетворяющая уравнению $f(x+2)=\dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$ периодическая и найти её период.

Комментарий/решение

$\boxed{f(x+2)=\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}}$

$f((x+2)+2)=\cfrac{1+f(x+2)}{1-f(x+2)}=\cfrac{1+\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}}{1-\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}}=-\cfrac{2}{f(x)}$

$\boxed{f(x+4)=-\cfrac{2}{f(x)}}$

$f((x+4)+4)=-\cfrac{2}{f(x+4)}=-\cfrac{2}{-\cfrac{2}{f(x)}}=f(x)$

$\boxed{f(x+8)=f(x)}$

$f(x)$ - периодическая функция с периодом $8$.