Западно-Китайская математическая олимпиада, 2017 год

В остроугольном треугольнике $ABC$, $D$ и $E$ — точки на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Пусть отрезки $BE$ и $DC$ пересекаются в точке $H$. Пусть $M$ и $N$ — середины отрезков $BD$ и $CE$ соответственно. Докажите, что $H$ является ортоцентром треугольника $AMN$ тогда и только тогда, когда точки $B$, $C$, $E$, $D$ лежат на одной окружности и $BE\perp CD$.

Комментарий/решение

$1:$

$(i)$

Пусть $H$ - ортоцентр $AMN$, тогда заметим, что из-за того, что $\frac{DM}{MB}=\frac{EN}{NC}$ оказывается, что окружности $(ABC),(AMN),(ADE)$ пересекаются в одной точке, а также их ортоцентры $I,H,G$ соответственно лежат на одной прямой.

$(ii)$

$BP,CQ$ - высоты треугольника $ABC$ и $L=CD\cap BP,J=BE\cap CQ$.

Так как $MH||BP,NH||CQ$ верно то $HD=HL,HE=HJ$, а значит $LJ||PQ$.

$DG||BI,EG||CI$ и $\frac{DM}{MB}=\frac{EN}{NC}=1 \Rightarrow \triangle JIL \stackrel {Z_H}{\to} \triangle EGD$, поэтому $\angle DEG=\angle LJI$ и $\angle GDE=\angle ILJ$, что равносильно $\triangle ABC \sim \triangle AED$, то есть $BCED$ - вписанный.

$(iii)$

Так как параллелограмм Вариньона $BCED$ является прямоугольником, то $BE\bot CD$.

$2:$

Если $BH\bot CH$ и $BCED$ вписанный, то $$\angle DBI=\angle MBH + \angle MHB=\angle DMH=\angle ICE=\angle ENH,$$

так как в $DQJH: \angle Q=\angle H=90^\circ$ и в $EHLP$ аналогично, после чего $\angle QDH=\angle IJH=\angle HEP=\angle ILH$.