Западно-Китайская математическая олимпиада, 2016 год

Окружности $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$, а их общая внешняя касательная касается $O_1$ и $O_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Окружность $\Gamma$, проходящая через точки $A$ и $B$, пересекает $O_1$ и $O_2$ в точках $D$ и $C$ соответственно. Докажите, что $\displaystyle \frac{CP}{CQ}=\frac{DP}{DQ}.$

Комментарий/решение

$(i)$

$PQ - $ радикальная ось $O_1$ и $O_2$, тем самым прямая проходит через середину $AB$, которую назовем $M$.

Заметим, что $\angle PAM=\angle AQM$ и $\angle BQM=\angle PBM$, значит $\triangle APM \sim \triangle QAM$ и $\triangle BPM \sim \triangle QBM,$ откуда получаются следующие отношения$:$

$$\frac{AQ}{AP}=\frac{MQ}{MA}=\frac{MQ}{MB}=\frac{BQ}{BP}.$$

$(ii)$

Из того, что $AD,BC,PQ - $ попарные радикальные оси окружностей $O_1,O_2,(ABDC)$ следует, что существует радикальный центр окружностей, который обозначим $S$.

Не трудно понять, что требуется установить следующее равенство $(A,D;P,Q)=(B,C;P,Q)$, которое выводится таким образом$:$

$$(A,D,P,Q) \stackrel{A}{=} (M,S;P,Q) \stackrel{B}{=} (B,C;P,Q).$$

Что завершает доказательство.