Западно-Китайская математическая олимпиада, 2015 год

Пусть $n \ge 2$ — натуральное число и $x_1,x_2,\ldots,x_n $ — положительные действительные такие, что $\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} = 1.$ Докажите, что $\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{1 - {x_i}}}} } \right)\left( {\sum\limits_{1 \le i < j \le n} {{x_i}} {x_j}} \right) \le \frac{n}{2}.$

Комментарий/решение

($\sum \limits_{1\leq i <j\leq n}^{n}{x_ix_j})=\frac {\sum \limits_{i=1}^{n}{(1-x_{i})x_{i}}}{2} $. Используя неравенство Чебышева получим требуемое.

Дополню решение выше

Так как ${2\cdot\sum \limits_{1\leq i <j\leq n}^{n}{x_ix_j}=\sum \limits_{i=1}^{n}{(1-x_{i})x_{i}}},$ то достаточно доказать, что $$(\sum \limits_{i=1}^{n} {\dfrac{1}{1-x_{i}}})(\sum \limits_{i=1}^{n}{(1-x_{i})x_{i}})\le n $$ БОО примем, что $x_1\le\ldots\le x_n.$ Тогда $$\dfrac{1}{1-x_1}\le\ldots\le \dfrac{1}{1-x_n}\quad\text{и}\quad (1-x_1)x_1\le\ldots\le (1-x_n)x_n $$

По неравенству Чебышева $$(\sum \limits_{i=1}^{n} {\dfrac{1}{1-x_{i}}})(\sum \limits_{i=1}^{n}{(1-x_{i})x_{i}})\le n( \sum \limits_{i=1}^{n} {\dfrac{1}{1-x_{i}}} \cdot (1-x_i)x_i )=n.\quad\square $$