Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, I тур дистанционного этапа

В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BD$, а в треугольниках $ABD$ и $CBD$ биссектрисы $DE$ и $DF$ соответственно. Оказалось, что $EF \parallel AC$. Найдите угол $DEF$. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 45 градусов.
Решение. Пусть отрезки $BD$ и $EF$ пересекаются в точке $G$. Из условия имеем $\angle EDG = \angle EDA = \angle DEG$, откуда $GE = GD$. Аналогично, $GF = GD$. Значит, $GE = GF$, то есть $BG$ — биссектриса и медиана, а значит, и высота в треугольнике $BEF$. Отсюда $DG$ — медиана и высота, а значит, и биссектриса в треугольнике $EDF$, откуда $\angle DEG = \angle EDG = \angle FDG = \angle GFD$. Поскольку сумма четырёх входящих в последнее равенство углов равна 180 градусам, каждый из них равен 45 градусам.

45