4-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2017 год, вторая лига, 9-10 классы

Пусть $X$ и $Y$ — точки на стороне $BC$ треугольника $ABC$ такие, что $2XY=BC$ ($X$ лежит между $B$ и $Y$). Пусть $AA'$ — диаметр описанной окружности треугольника $AXY$. Обозначим через $P$ точку пересечения прямой $AX$ и прямой, проходящей через $B$ перпендикулярно $BC$, а через $Q$ обозначим точку пересечения прямой $AY$ и прямой, проходящей через $C$ перпендикулярно $BC$. Докажите, что касательная, проведенная из $A'$ к описанной окружности треугольника $AXY$, проходит через центр описанной окружности треугольника $APQ$.

Комментарий/решение

Онда AXY тең бүйірлі үшбұрыш.Демек АВС және АРQ да тең бүйірлі үшбұрыш. Онда PQ|| BC, А` арқылы жүргізілген жанама да парраллель. А нүктесінен m түзуіне биіктік жүргізсек ол А` арқылы өтеді .Сонда А` нүктесі APQ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі ∎