Западно-Китайская математическая олимпиада, 2010 год

$AB$ — диаметр окружности с центром $O$. На этой окружности, с одной стороны от $AB$, взяты точки $C$ и $D$. Касательные к окружности в точках $C$ и $D$ пересекаются в $E$. Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в $F$. Прямые $EF$ и $AB$ пересекаются в $M$. Докажите, что $E,C,M$ и $D$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

По теореме Паскаля для шестиугольника $DDA CCB$ выходит, что $AC, BD, FM$ пересекаются в одной точке, однако $AC,BD$ - высоты треугольника $ABF$, откуда $\angle OME = 90 = \angle OCE = \angle ODE$, тем самым $O,M,C,E,D$ - лежат на одной окружности.