Западно-Китайская математическая олимпиада, 2011 год

$AB$ и $CD$ — две хорды окружности $\Gamma_{1}$ с центром $O$ разной длины, пересекающиеся в точке $E$ (внутри $\Gamma_{1}$). Окружность $\Gamma_{2}$ центром $I$ касается $\Gamma_{1}$ внутренним образом в $F$, а также касается $AB$ в $G$ и $CD$ в $H$. Прямая $l$, проходящая через $O$, пересекает $AB$ и $CD$ в $P$ и $Q$, соответственно, причем $EP = EQ$. Прямая $EF$ пересекает $l$ в $M$. Докажите, что прямая, проходящая через $M$ и параллельная $AB$, касается $\Gamma_{1}$