Областная олимпиада по математике, 2018 год, 11 класс

Найти все функции $f:\left( 0,+\infty \right)\to \left( 0,+\infty \right)$, удовлетворяющие при всех $x,y\in \left( 0,+\infty \right)$ условию $f(x)f(yf(x))=f\left( x+y \right)$.

Комментарий/решение

Ответ: $f(x)=1$; $f(x)=\dfrac{1}{1+Cx}, C\in(0,+\infty)$

Решение. Пусть существует $x_0∈(0,+\infty)$ такой, что $f(x_0 )>1$. Положим $x=x_0$,$y=\dfrac{x}{f(x_0 )-1}$. Получим

$$f(x_0 )f\left(\frac{x_0 f(x)}{f(x_0 )-1}\right)=f\left(x_0+\frac{x_0}{f(x_0 )-1}\right) \Leftrightarrow$$

$$f(x_0 )f\left(x_0+\frac{x_0}{f(x_0 )-1}\right)=f\left(x_0+\frac{x_0}{f(x_0 )-1}\right) \Leftrightarrow f(x_0 )=1.$$

Получили противоречие. Значит, $\forall x∈(0,+\infty) \quad f(x)\le1.$

Из исходного равенства и получившегося неравенства следует, что $\forall 0<x_1<x_2$

$$f(x_1 )≥f(x_1 )f((x_2-x_1 )f(x_1 ))=f(x_1+(x_2-x_1))=f(x_2 ),$$

то есть искомая функция$f(x)$ неубывающая.

Случай 1. Пусть существует $x^*∈(0,+\infty)$ такой, что $f(x^* )=1$. Тогда

$$\forall x∈(0,x^* ]\quad f(x)=1.$$

Положим $x=x^*$, тогда $\forall y∈(0,+\infty)$

$$f(x^* )f(yf(x^* ))=f(x^*+y) \Leftrightarrow f(y)=f(x^*+y).$$

Отсюда в силу того, что $f(x)$ неубывающая, заключаем, что $\forall x\in (0,+\infty)$ $f(x)=1$. Нетрудно убедиться, что эта функция подходит.

Случай 2. $\forall x\in(0,+\infty)$ $0<f(x)<1$, тогда $\forall 0<x_1<x_2$

$$f(x_1 )>f(x_2 ),$$

то есть функция $f(x)$ строго убывающая, а, значит, инъективна.

Из исходного равенства получаем

$$f(1)f(yf(1))=f(1+y)=f(yf(1)+(1+y-yf(1))=f(yf(1))f\left((1+y-yf(1))f(yf(1))\right) \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow f(1)=f\left((1+y-yf(1))f(yf(1))\right)\Leftrightarrow 1=(1+y-yf(1))f(yf(1)) )).$$

В последнем равенстве положим $a=f(1)\in(0,1)$, $y=\dfrac{x}{a}$. Тогда . $\forall x∈(0,+\infty)$

$$1=\left(1+\dfrac{x}{a}-x\right)f(x) \Rightarrow f(x)=\frac{1}{1+\left(\dfrac{1}{a}-1\right)x}=\frac{1}{1+Cx},$$

где $C=\dfrac{1}{a}-1\in(0,+\infty)$.

Проверка показывает, что любая функция вида $f(x)=\dfrac{1}{1+Cx}$, где $C=\dfrac{1}{a}-1\in(0,+\infty)$,удовлетворяет условию задачи.