Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 11 класс

Докажите, что для любых действительных чисел $a,b,c,d\in(0,1)$ выполняется неравенство $\left(ab-cd\right)\left(ac+bd\right)\left(ad-bc\right)+\min{\left(a,b,c,d\right)} < 1.$ ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Без потери общности можно предположить, что $a \ge c.$ Так как $a,b,d < 1$, то по неравенству Коши имеем: $$(ab-cd)(ad-bc)\le \left(\frac{(ab-cd)+(ad-bc)}{2}\right)^ 2=\frac{(b+d)^2(a-c)^2}{4} < (1-c)^2, \quad (1)$$ и $$ac+bd < c+1. \quad (2)$$ Перемножив неравенства (1) и (2) получим: $$(ab-cd)(ac+bd)(ad-bc) < (1-c)^2(1+c)=(1-c)(1-c^2) < 1-c \le 1-\min(a,b,c,d).$$